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labuladong 动态规划套路:最大子数组和

NOTE:

一、原题: leetcode 53. 最大子序和 简单

思路分析

解决这个问题需要动态规划技巧,但是dp数组的定义比较特殊。按照我们常规的动态规划思路,一般是这样定义dp数组:

nums[0..i]中的「最大的子数组和」为dp[i]

NOTE:

非单调的,因此无法使用上述definition

如果这样定义的话,整个nums数组的「最大子数组和」就是dp[n-1]。如何找状态转移方程呢?按照数学归纳法,假设我们知道了dp[i-1],如何推导出dp[i]呢?

如下图,按照我们刚才对dp数组的定义,dp[i] = 5,也就是等于nums[0..i]中的最大子数组和:

图片

那么在上图这种情况中,利用数学归纳法,你能用dp[i]推出dp[i+1]吗?

实际上是不行的,因为子数组一定是连续的,按照我们当前dp数组定义,并不能保证nums[0..i]中的最大子数组与nums[i+1]是相邻的,也就没办法从dp[i]推导出dp[i+1]

所以说我们这样定义dp数组是不正确的,无法得到合适的状态转移方程。对于这类子数组问题,我们就要重新定义dp数组的含义:

nums[i]为结尾的「最大子数组和」为dp[i]

这种定义之下,想得到整个nums数组的「最大子数组和」,不能直接返回dp[n-1],而需要遍历整个dp数组:

int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

依然使用数学归纳法来找状态转移关系:假设我们已经算出了dp[i-1],如何推导出dp[i]呢?

可以做到,dp[i]有两种「选择」,要么与前面的相邻子数组连接,形成一个和更大的子数组;要么不与前面的子数组连接,自成一派,自己作为一个子数组。

如何选择?既然要求「最大子数组和」,当然选择结果更大的那个啦:

// 要么自成一派,要么和前面的子数组合并
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);

综上,我们已经写出了状态转移方程,就可以直接写出解法了:

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    int[] dp = new int[n];
    // base case
    // 第一个元素前面没有子数组
    dp[0] = nums[0];
    // 状态转移方程
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
    }
    // 得到 nums 的最大子数组
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

以上解法时间复杂度是 O(N),空间复杂度也是 O(N),较暴力解法已经很优秀了,不过**注意到dp[i]仅仅和dp[i-1]的状态有关**,那么我们可以进行「状态压缩」,将空间复杂度降低:

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    // base case
    int dp_0 = nums[0];
    int dp_1 = 0, res = dp_0;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
        dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
        dp_0 = dp_1;
        // 顺便计算最大的结果
        res = Math.max(res, dp_1);
    }

    return res;
}

最后总结

虽然说动态规划推状态转移方程确实比较玄学,但大部分还是有些规律可循的。

今天这道「最大子数组和」就和「最长递增子序列」非常类似,dp数组的定义是「以nums[i]为结尾的最大子数组和/最长递增子序列为dp[i]」。因为只有这样定义才能将dp[i+1]dp[i]建立起联系,利用数学归纳法写出状态转移方程。